Большая полуось

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Большая полуось — это один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения.

Эллипс

Основные параметры эллипса

Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр — отрезок проходящий через центр и два фокуса. Большая полуось составляет половину этого расстояния и идёт от центра эллипса через фокус к его краю.

Под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — минимальное расстояние от центра эллипса до его края. У частного случая эллипса — круга — большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом, можно рассматривать большую и малую полуоси как некоего рода радиусы эллипса.

Длина большой полуоси <math>a</math> связана с длиной малой полуоси <math>b</math> через эксцентриситет <math>e</math>, фокальный параметр <math>p</math> и фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами) <math>\boldsymbol c</math> следующим образом:

<math>b = a \sqrt{1-e^2},</math>
<math>p = a(1-e^2),</math>
<math>ap=b^2.</math>
<math>a^2 = b^2 + c^2</math>

Большая полуось представляет собой среднее арифметическое между расстояниями от любой точки эллипса до его фокусов.

Рассмотрев уравнение в полярных координатах, с точкой в начале координат (полюс) и лучом, начинающейся из этой точки (полярная ось):

<math>r(1-e\cos\theta) = p</math>

Получим средние значения <math>r={p\over{1+e}}</math> и <math>r={p\over{1-e}}</math> и большую полуось <math>a={p\over 1-e^2}.</math>

Парабола

График построения параболы простейшей функции y = x2

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остаётся постоянным, а другой отодвигается в бесконечность, сохраняя <math>p</math> постоянным. Таким образом <math>a</math> и <math>b</math> стремятся к бесконечности, причём <math>a</math> быстрее, чем <math>b</math>.

Гипербола

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси <math>x</math> (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

<math>\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1.</math>

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

<math>a={p \over e^2-1 }</math>.

Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.<ref>7.1 Alternative Characterization</ref>

Астрономия

Орбитальный период

В небесной механике орбитальный период <math>T</math> обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:

<math>T = 2\pi\sqrt{a^3 \over \mu}</math>

где:

<math>a</math> — это размер большой полуоси орбиты
<math> \mu</math> — это стандартный гравитационный параметр

Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела.

Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.

<math>\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}</math>

где:

<math>T</math> — орбитальный период в годах;
<math>a</math> — большая полуось в астрономических единицах.

Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:

<math>T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3</math>

где:

<math>G</math> — гравитационная постоянная
<math>M</math> — масса центрального тела
<math>m</math> — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.

Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля—Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет Шаблон:Число, в то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля—Луна составляет Шаблон:Число — из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а на расстоянии Шаблон:Число от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; то же самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.

Среднее расстояние

{{#switch:||Шаблон|Категория=

{{#ifeq:<imagemap> Image:Wiki_letter_w.svg|none||Шаблон:!class="ambox-image"Шаблон:!
{{#ifeq:<imagemap>
   Image:Wiki_letter_w.svg|blank| |{{#switch:<imagemap>
   Image:Wiki_letter_w.svg|delete|serious=Критические проблемы|content=Проблемы с содержанием статьи|style=Стилевые проблемы|good=Статус статьи|discussion=Обсуждение|merge=Перенос содержимого|notice=Информация|#default=<imagemap>
Image:Wiki_letter_w.svg}}}}
}} {{#if:||{{#if:Шаблон:Rq/topics/getcategory|[[Категория:Википедия:Статьи к доработке Шаблон:Rq/topics/getcategory]]}}}}|Шаблон {{rq}} не предназначен для страниц из данного пространства имён.}}

Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения — в зависимости от величины, по которой производят усреднение:

  • усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.
  • усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.
  • усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:
<math>a \left(1 + \frac{e^2}{2}\right).</math>
  • усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:
<math>\sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}.</math>

Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния

В небесной механике большая полуось <math>a</math> может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:

<math> a = { - \mu \over {2\varepsilon}}</math>

для эллиптических орбит

<math> a = {\mu \over {2\varepsilon}}</math>

для гиперболической траектории

и

<math> \varepsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} </math>

(en:specific orbital energy)

и

<math> \mu = G(M+m )</math>

(стандартный гравитационный параметр), где:

<math>v</math> — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости,
<math>r</math> — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца),
<math>G</math> — гравитационная постоянная,
<math>M</math> и <math>m</math> — массы тел.

Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.

См. также

Примечания

Неизвестный тег расширения «references»

Ссылки

Шаблон:Орбиты Шаблон:Небесная механика {{#switch:||Шаблон|Категория=

{{#ifeq:<imagemap> Image:Wiki_letter_w.svg|none||Шаблон:!class="ambox-image"Шаблон:!
{{#ifeq:<imagemap>
   Image:Wiki_letter_w.svg|blank| |{{#switch:<imagemap>
   Image:Wiki_letter_w.svg|delete|serious=Критические проблемы|content=Проблемы с содержанием статьи|style=Стилевые проблемы|good=Статус статьи|discussion=Обсуждение|merge=Перенос содержимого|notice=Информация|#default=<imagemap>
Image:Wiki_letter_w.svg}}}}
}} {{#if:||{{#if:Шаблон:Rq/topics/getcategory|[[Категория:Википедия:Статьи к доработке Шаблон:Rq/topics/getcategory]]}}}}|Шаблон {{rq}} не предназначен для страниц из данного пространства имён.}}