Кеплеровы элементы орбиты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Наклонение (астрономия)»)
Перейти к: навигация, поиск
Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)
Части эллипса (рис.2)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

  • большая полуось (<math>a</math>),
  • эксцентриситет (<math>e</math>),
  • наклонение (<math>i</math>),
  • долгота восходящего узла (<math>\Omega</math>),
  • аргумент перицентра (<math>\omega</math>),
  • средняя аномалия (<math>M_o</math>).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

Большая полуось — это половина главной оси эллипса <math>|AB|</math> (обозначена на рис.2 как a). В астрономии характеризует максимальное расстояние небесного тела от центра эллиптической орбиты.{{#if:||

                  {{#if:
                       ||[[Категория:Википедия:Нет источников с {{#time:xg Y|2013-02-16}}]]{{#ifexpr:{{#expr:((( {{ #time: U}} - {{ #time: U | 2013-02-16 }} )/86400 - 0.5 round 0) * ( (( {{ #time: U}} - {{ #time: U | 2013-02-16 }} )/86400 - 0.5 round 0) > 0) ) round 0}}>14|}}Шаблон:Нет источника (сортировка по типу)
                  }}
                }}{{#ifexpr:{{#expr:((( {{ #time: U}} - {{ #time: U | 2013-02-16 }} )/86400 - 0.5 round 0) * ( (( {{ #time: U}} - {{ #time: U | 2013-02-16 }} )/86400 - 0.5 round 0) > 0) ) round 0}}>14
                    |[источник не указан {{#expr:((( {{ #time: U}} - {{ #time: U | 2013-02-16 }} )/86400 - 0.5 round 0) * ( (( {{ #time: U}} - {{ #time: U | 2013-02-16 }} )/86400 - 0.5 round 0) > 0) ) round 0}} дня]
                    |[источник?]
                  }}

Эксцентриситет

Эксцентрисите́т (обозначается «<math>e</math>» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.<ref>А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.</ref> Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

<math>\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math>, где <math>b</math> — малая полуось (см. рис.2)

Можно разделить внешний вид орбиты на пять групп:

Наклонение

A — Объект
B — Центральный объект
C — Плоскость отсчёта
D — Плоскость орбиты
i — Наклонение

Наклонение орбиты (накло́н орбиты, накло́нность орбиты, наклоне́ние) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если <math>0<i<90</math>°, то движение небесного тела называется прямым<ref>То есть, объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля</ref>.
Если <math>90</math>°<math><i<180</math>°, то движение небесного тела называется обратным.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊, или Ω.

Аргумент перицентра

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты спутника), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения спутника, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается (<math>\omega</math>).

Вместо аргумента перигелия часто используется другой угол, долгота перигелия, обозначаемый как <math>\bar{\omega}</math>. Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перигелия. Это — несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перигелия, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным<ref>{{#if:Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner|{{#ifeq:{{#invoke:String|sub|Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner|-1}}| |Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner|{{#ifeq:{{#invoke:String|sub|Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner|-6|-2}}|&nbsp|Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner|{{#ifeq:{{#invoke:String|sub|Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner|-6|-2}}|/span|Шаблон:±.</span>|Шаблон:±.}}}}}} }}{{#if: 6. Celestial Mechanics|{{#if: |[{{{ссылка часть}}} 6. Celestial Mechanics]| 6. Celestial Mechanics}} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Fundamental Astronomy]]|{{#if: |Fundamental Astronomy |{{#if:https://books.google.com/books?id=DjeVdb0sLEAC&pg=PA117%7CFundamental Astronomy|Fundamental Astronomy}}}}}}{{#if:| = {{{оригинал}}} }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Fundamental Astronomy|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:5-е изд| — 5-е изд.}}{{#switch:{{#if:|м}}{{#if:Springer Science & Business Media|и}}{{#if:2007|г}}

 |миг= — Шаблон:Указание места в библиоссылке: Springer Science & Business Media, 2007.
 |ми= — Шаблон:Указание места в библиоссылке: Springer Science & Business Media.
 |мг= — Шаблон:Указание места в библиоссылке, 2007.
 |иг= — Springer Science & Business Media, 2007.
 |м= — Шаблон:Указание места в библиоссылке
 |и= — Springer Science & Business Media.
 |г= — 2007.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:|{{#if: | [{{{ссылка том}}} — Т. {{{том}}}.]| — Т. {{{том}}}.}}}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — Bd. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:117—118| — С. {{#if:|[117—118] (стб. {{{столбцы}}}).|117—118.}}}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{#if:|[{{{pages}}}] (col. {{{columns}}}).|{{{pages}}}.}}}}{{#if:| — S. {{#if:|[{{{seite}}}] (Kol. {{{kolonnen}}}).|{{{seite}}}.}}}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  S.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — {{{тираж}}} экз.}}{{#if:| — ISBN {{{ISBN}}}.}}{{#if:| — ISBN {{{isbn2}}}.}}{{#if:| — ISBN {{{isbn3}}}.}}{{#if:| — ISBN {{{isbn4}}}.}}{{#if:| — ISBN {{{isbn5}}}.}}{{#if:| — DOI:{{{doi}}}{{#ifeq:Шаблон:Str left|10.||[Ошибка: Неверный DOI!]{{#if:||}}}}}}</ref>.

Средняя аномалия

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.
Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой <math>M</math> (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия <math>M</math> вычисляется по следующим формулам:

<math>M = M_0 + n(t-t_0)</math>

где:

  • <math>M_0</math> — средняя аномалия на эпоху <math>t_0</math>,
  • <math>t_0</math> — начальная эпоха,
  • <math>t</math> — эпоха, на которую производятся вычисления, и
  • <math>n</math> — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

<math>M=E - e \cdot \sin E</math>

где:

Вычисление кеплеровых элементов

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется невозмущённое движение и известны вектор положения <math>\mathbf r_0(x_0,y_0,z_0)</math> и вектор скорости <math>\mathbf {{\dot r}({\dot x_0}, {\dot y_0}, {\dot z_0})}</math> на момент времени <math>t</math>. Найдём кеплеровы элементы орбиты.

Прежде всего, вычислим большую полуось:

<math>r^2_0 = x^2_0 + y^2_0 + z^2_0</math>
<math>\dot r^2_0 = \dot x^2_0 + \dot y^2_0 + \dot z^2_0</math>
<math>r_0 \cdot \dot r_0 = x_0 \cdot \dot x_0 + y_0 \cdot \dot y_0 + z_0 \cdot \dot z_0</math>

По интегралу энергии:

(1) <math>\frac {1}{a} = \frac {2}{r_0} - \frac {v^2_0}\mu</math>, где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела; для Земли μ = 3,986005{{ #if:| |·}}105 км³/c², для Солнца μ = 1,32712438{{ #if:| |·}}1011 км³/c².

Следовательно, по формуле (1) находим <math>a</math>.

Примечания

Неизвестный тег расширения «references»

См. также

Шаблон:Небесная механика Шаблон:Иоганн Кеплер