Эксцентриситет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Сюда перенаправляется запрос «Директриса (геометрия)». На эту тему нужна отдельная статьяШаблон:If.
{{#if:||}}
</math>.

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается «<math>e</math>» или «<math>\varepsilon</math>».

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку <math>F</math> и прямую <math>d</math> и зададим вещественное число <math>e>0</math>. Тогда геометрическое место точек <math>M</math>, для которых отношение расстояний до точки <math>F</math> и до прямой <math>d</math> равно <math>e</math>, является коническим сечением. То есть, если <math>M'</math> есть проекция <math>M</math> на <math>d</math>, то

<math>|FM| = e \cdot |MM'|</math>.

Это число <math>e</math> называется эксцентриситетом' конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, а также парабола (при y=0), на одной поверхности третьего порядка

Свойства

  • В зависимости от эксцентриситета, получится:
  • Эксцентриситет эллипса может быть выражен через отношение малой (<math>b</math>) и большой (<math>a</math>) полуосей:
<math>e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>.
  • Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой (<math>b</math>) и действительной (<math>a</math>) полуосей:
<math>e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>.
  • Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- (<math>r_\mathrm{p}</math>) и апоцентров (<math>r_\mathrm{a}</math>):
<math>e=\frac{r_\mathrm{ap}-r_\mathrm{per}}{r_\mathrm{ap}+r_\mathrm{per}}=1-\frac{2}{\frac{r_\mathrm{ap}}{r_\mathrm{per}}+1}</math>
  • Для эллипса и гиперболы эксцентриситет равен отношению расстояния между фокусами к большей или вещественной оси.

См. также

Литература